一
以下的经典数学结果依照阿罗、德布鲁五十年代的定义和证明, 本文只对表述方式作了一定的修改。
商品空间R是l维Euclid空间。
经济e = [ <Ｘi>, <≥i>, <Ｙj>, w ]
i=1,2,3.....,n；j=1,2,3.....m
是消费者i的消费集；是生产者j的生产集；≥i是消费者i的偏好关系；w是经济的总禀赋。满足：（1）Ｘi 凸，闭且下有界；
（2）≥i连续，凸；
（3）
（4）
凸，闭；（5）
（6）
。 可行状态(
,
）满足: 
且
。帕累托效率（最优）状态（
）是可行状态， 且不存在可行状态(
)满足
有
, 并
有
。瓦尔拉斯均衡（
,p*）是私有制经济下的一个均衡，其中消费者i以股份θij拥有j，满足：（A）
在i的预算集{
}上使偏好≥i极大，其中
。(B)
使j的利润
极大；(C)
，
是i的初始禀赋。Arrow-Debreu一般均衡存在性定理：上述经济（条件（1）~（6）成立）中，如果任何一个消费者都没有充分满足的消费束，且在其消费集内部都有一个初始禀赋，那么上述定义的瓦尔拉斯均衡存在。
福利经济学第一基本定理：上述竞争均衡配置是帕累托效率的。
下面是一个说明福利经济学第一基本定理错误的模型。
[模型S] 生产–交换经济e。
商品：x, y, z, v, w。
当事人：消费者A，B；厂商X，Y。
偏好：A的偏好函数
B的偏好函数
。生产函数：X的生产函数（α）
x1是投入；y1 ，z1是产出Y的生产函数（β）
v2是投入；y2 ，w2是产出 初始禀赋: A，B各自完全拥有企业X ,Y。
A初始拥有xA =0.5,
, B初始拥有vB =1。以上的假设均满足Arrow-Debreu模型条件。记瓦尔拉斯均衡状态为“*” 。
论证：如果本模型存在瓦尔拉斯均衡，根据
是否为0可分为以下两种情形：(一)先设瓦尔拉斯均衡价格
≠0。显然有
设模型的另一个状态为
，并保持Y的生产和B的所得不变，则有
说明该状态优于瓦尔拉斯均衡状态*。
(二) 再设瓦尔拉斯均衡价格
=0，此时
，因当事人均为“价格领受者”，
=0意味着y不被生产，
设模型的另一个状态为
并保持X的生产和A的所得不变，则有
说明该状态优于瓦尔拉斯均衡状态*。
综合以上情况，说明本模型的瓦尔拉斯均衡状态*如果存在，其必定是非帕累托效率的。
[结论]在符合Arrow-Debreu Model标准假设的情况下，瓦尔拉斯均衡未必是帕累托效率的，即福利经济学第一基本定理不成立。或者Arrow-Debreu一般均衡存在性定理不成立。